Пусть AC - диаметр окружности, по разные стороны от которого на этой окружности взяты точки B и D. Длины получившегося четырехугольника ABCD являются целочисленными. Может ли периметр этого четырехугольника являться простым числом?

(0)+ Длины сторон получившегося 4-угольника, конечно.

Все не читал, но осуждаю. Вики говорит что "Периметр имеет ту же размерность величин, что и длина", а значит кто ему мешает быть простым числом в любой системе?

Ты, это... Такие ветки часов в 12-13 по МСК пости, для обеда самое оно. Заодно и поймешь что тут периметр, что длины сторон.

(2). Ты смысл-то приведенной фразы "Периметр имеет ту же размерность величин, что и длина" понимаешь? Имеется в виду тут только, что если ты длину сторон измеряешь в метрах, то и периметр будет тоже в метрах (а не в квадратных метрах, например).
(3). Я не пытаюсь ответ прям сейчас получить. Задача несложная, кому интересно - тот решит.

Да все дело в том, что задача не сложная. Но тема в выходные загнется и в прайм-тайм о ней никто не вспомнит.

(5). Ну и ладно, не залезут сюда, значит, ламеры в математике, как бывает обычно. Кому интересно, тот фильтрует форум по теме "Математика и алгоритмы".

(0) Если целочисленные - значит, две имеем пифагоровых тройки.   Отсюда следует, что периметр - чётное число. Ну а раз чётное - какое ж оно простое?

(6) Это значит, только то, что тему надо создавать вовремя...

(7). Где в условии, что диаметр АС - тоже целое число? Только тогда будут пифагоровы тройки.

(9) Как найдёшь два целых числа, которые в сумме дают _не_ целое - быстро беги за филдсовской премией.

+(10) Опаньки... А тут ведь я сильно не прав...

(10). Жесть, конечно, см. (6). Про теорему Пифагора хоть в курсе?

(12) Уже курю и полученным пеплом посыпаю голову.

(11). Ок.

Тем не менее, даже если диаметр - не целый, его квадрат - целый (инфа 100%). И его чётность совпадает с чётностью суммы длин сторон, лежащих по одну сторону от диаметра. Посему периметр - чётный.

(15). Не внимателен ты. И теорему Пифагора всё-таки глянь.
>>И его чётность совпадает с чётностью суммы длин сторон
С суммой КВАДРАТОВ длин сторон.

(16) а^2+b^2=(a+b)^2-2ab
(по крайней мере, ещё утром так было).
2ab - чётное число.
Поэтому чётность у а^2+b^2 и у (a+b)^2 - одна и та же.
Ну а то, что чётность у a и у a^2 одна и та же, надеюсь, не вызывает сомнений.

(17). Ок, пойдёт.

Ну, или уж в совсем явном виде:

(a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2 + 2(a*b+a*c+a*d+b*c+b*d+c*d)=
2(a^2+b^2) + 2(a*b+a*c+a*d+b*c+b*d+c*d)

очевидно четное число...

(19) А почему "очевидно", что a^2+b^2+c^2+d^2 - чётное?

(20)
a^2+b^2+c^2+d^2 = 2(a^2+b^2)

(21) А это следует уже из более других данных, о которых в (19) не упомянуто.
Более того, вот как раз это и есть решение задачи. А не то, что в (19) написано.