Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что степень a^b - число рациональное?

Неисключено

e^(ln 2)

(2)а сможешь ли ты доказать иррациональность ln2?

(3). Допустим, что ln2 = m/n - несократимая дробь. Тогда
2=e^(m/n)
2^n = e^m
Получаем, что e в целой степени - целое число, т.е. корень уравнения
x^m = A - целое. Это означает, что e - алгебраическое число, это не так (е - трансцендентное)

(4) а сможешь доказать?

ладно, задача слишком простая

у меня проще пример
a=sqrt(2)
если b=a^a - рационально, то доказали
если b=a^a - иррационально, то b^a = 2 - рационально, все равно доказали

(5). Ну вот проще пример, но с тем же мотивом, что в (2).

a=2, b=ln3/ln2

2^(ln3/ln2) = 3

Если ln3/ln2 = m/n - рациональное, то 2^m = 3^n - противоречие (слева - четное, справа - нечетное).

P.S. Трансцендентность e - теорема Линдемана.

(6)+. А блин, не пойдет, иррациональное же должно быть...

Если дополнительно потребовать, что a, b - алгебраические числа, то это седьмая проблема Гильберта:
wiki:Седьмая_проблема_Гильберта